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Linear stability for self-similar wave maps
Birgit Schoerkhuber
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Peter Christian Aichelburg
DOI
10.25365/thesis.8371
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30271.15292.959363-3
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit behandelt eine Klasse von Abbildungen, genannt wave maps, vom Minkowski-Raum auf die 3-Sphäre. Solche Abbildungen genügen einer nichtlinearen Wellengleichung, für die eine selbstähnliche Lösung, genannt der Grundzustand, in geschlossener Form bekannt ist. Diese Lösung entwickelt in endlicher Zeit eine Singularität (blow-up). Numerische Untersuchungen legen nahe, dass der Grundzustand einen Attraktor für generische Anfangsdaten darstellt. In dieser Arbeit werden lineare Störungen des Grundzustands untersucht, wobei das Ziel ist, die lineare Stabilität mit analytischen Methoden zu beweisen.
Die linearisierte Gleichung wird als Operatorgleichung formuliert und in zwei verschiedenen Funktionenräumen betrachtet - im Energieraum und in einem Raum, in dem die Norm mit einer höheren Energie assoziiert werden kann. Mit Methoden aus der Theorie starkstetiger, ein-parametriger Halbgruppen und durch Untersuchung des Spektralproblems kann eine Abschätzung für die zeitliche Entwicklung der Energie der Störung angegeben werden. Der Grundzustand ist linear stabil, wenn die Energie der Störung mit der Zeit abnimmt. Es wird gezeigt, dass nur eine Formulierung des Problems im höheren Energieraum zum gewünschten Ergebnis führt.
Abstract
(Englisch)
This work studies a particular class of maps, called wave maps, from Minkowski space to the three-sphere. Such maps fulfill a nonlinear wave equation, for which a self-similar solution, called the ground state, is known in closed form. This solution develops a singularity in finite time (\textit{blow-up}). Numerical investigations suggest that the ground state is an attractor for generic smooth initial data. In this work linear perturbations of the ground state solution are investigated. The aim is to prove linear stability with analytic methods.
We give an operator formulation of the linearized equation and consider it in two different functions spaces - in the energy space and in a higher energy space, where the norm can be associated with a higher energy. With methods from the theory of strongly continuous one-parameter semigroups and by investigation of the spectral problem an estimate for the temporal evolution of the energy of the perturbation can be found. The ground state solution is linearly stable if the energy of the perturbation decreases in time. It will be shown that only a formulation of the problem in the higher energy space leads to the intended result.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
wave maps linear stability self-similar solutions
Schlagwörter
(Deutsch)
SU(2)-Sigma Modell selbstähnliche Lösungen lineare Stabilität
Autor*innen
Birgit Schoerkhuber
Haupttitel (Englisch)
Linear stability for self-similar wave maps
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
90 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Peter Christian Aichelburg
AC Nummer
AC08155730
Utheses ID
7542
Studienkennzahl
UA | 411 | | |