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Nonstandard methods in stochastics and applications to mathematical finance
Lisa Schönenberger
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Walter Schachermayer
DOI
10.25365/thesis.10555
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29668.01345.684964-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Im ersten Kapitel dieser Diplomarbeit werden Methoden aus der Nichtstandard
Analysis auf Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie angewendet. Der erste Abschnitt
dieses Kapitels ist eine Zusammenfassung über die Konstruktion von Nichtstandard
Mengen und über deren grundlegende Eigenschaften. Im zweiten Teil
des ersten Kapitels werden Maßräume im Nichtstandard Universum beschrieben,
sogenannte interne Maßräume. Wir zeigen, dass diese internen Maßräume im Allgemeinen
keinen Maßräume im üblichen Sinne sind, aber dass für jeden internen
Maßraum ein Maßraum, der sogenannte Loeb Raum, existiert, der eine kanonische
Erweiterung des internen Maßraumes ist. Im Folgenden wenden wir diese Ergebnisse
auf die Brownsche Bewegung an und zeigen den Zusammenhang der Brownschen
Bewegung mit infinitesimalen Zufallspfaden. Im nächsten Abschnitt zeigen wir für eine große
Klasse von Funktionen auf internen Wahrscheinlichkeitsräumen, dass sie mit Standard Funktionen auf den zugehörigen Loeb Räumen in einem bestimmten Sinne übereinstimmen.
Das heißt für Funktionen auf internen Wahrscheinlichkeitsräumen existiert
eine Funktion auf dem Loeb Raum mit analogen Eigenschaften.
Im zweiten Kapitel werden Anwendungen auf die Finanzmathematik beschrieben. Zunächst beschreiben wir Europäische Optionen im Cox-Ross-Rubinstein Modell und im Black-Scholes Modell.
Dann führen wir das hyperendliche Cox-Ross-Rubinstein Modell ein, welches eine Erweiterung mit infinitesimalen Zeitschritten ist und ähnliche
Eigenschaften wie das gewöhnliche Cox-Ross-Rubinstein Modell besitzt. Im Folgenden
zeigen wir, dass das Black-Scholes Modell durch den Standardteil des hyperendlichen
Cox-Ross-Rubinstein Modells gegeben ist. Als letztes betrachten wir
Amerikanische Put-Optionen im hyperendlichen Cox-Ross-Rubinstein Modell und
zeigen, dass die optimale Stoppzeit einer Amerikanischen Put-Option im Black-
Scholes Modell durch den Standardteil der optimalen Stoppzeit im hyperendlichen
Cox-Ross-Rubinstein Modell gegeben ist.
Abstract
(Englisch)
The first chapter of this thesis is concerned with measure and probability theory
from a Nonstandard Analysis point of view. First we give an overview of general
facts in Nonstandard Analysis. The second part of the first chapter is about
internal measure spaces. We show that
internal measure spaces are in general not measure spaces but that
there is always a measure space in the usual sense, the so called
Loeb space, which is a canonical extension of the nonstandard measure space. We apply these results to the Brownian Motion and show that the Brownian Motion can be obtained as an
infinitesimal random walk.
We also give some more general construction for a Brownian
Motion. In the next part we show for a big class
of functions and processes on probability spaces in the nonstandard universe that
they in a certain sense correspond to standard entities.
In the second chapter we give some applications of nonstandard stochastics in
mathematical finance. First we look at European call options in the Cox-Ross-
Rubinstein model and in the Black-Scholes model.
Then we introduce the hyperfinite CRR-model, where
we use random walks with infinitesimal time steps.
Then we show that the BS-model is precisely the
standard part of the hyperfinite CRR-model. Finally we
consider American put options in the hyperfinite CRR-model and
we show that the unique optimal stopping time for an American put option in the
BS-model is given by the standard part of an optimal stopping time in
the hyperfinite CRR-model.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Nonstandard Analysis Loeb Measures Brownian Motion European Options American Options Cox-Ross-Rubinstein Black-Scholes
Schlagwörter
(Deutsch)
Nichtstandard Analysis/ Loeb Maß, Brownsche Bewegung/ Europäische Optionen Amerikanische Optionen Cox-Ross-Rubinstein Black-Scholes
Autor*innen
Lisa Schönenberger
Haupttitel (Englisch)
Nonstandard methods in stochastics and applications to mathematical finance
Paralleltitel (Deutsch)
Nichtstandard Methoden in Stochastik und Anwendungen in der Finanzmathematik
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
57 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Walter Schachermayer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC08190258
Utheses ID
9531
Studienkennzahl
UA | 405 | | |