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Fractional diffusion limits of kinetic transport equations
Sanchez Pedro Aceves
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Christian Schmeiser
DOI
10.25365/thesis.43952
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24231.72605.192268-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Arbeit widmet sich dem Studium des makroskopischen Grenzwert verschiedener
kinetischer Gleichungen mit langsam abklingenden Gleichgewichtsverteilungen. Im klassischen
Fall ist die Gleichgewichtsverteilung eine Maxwell-Verteilung. Für diesen Fall
besagt ein bekanntes Resultat aus der Theorie der kinetischen Gleichungen, dass das
asymptotische Verhalten einer linearen kinetischen Transportgleichung mit parabolischer
Skalierung durch eine Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird. Wird die Maxwell-Verteilung jedoch durch eine langsam abklingende Gleichgewichtsverteilung ersetzt, handelt
es sich beim makroskopischen Limes um eine fraktionale Wärmeleitungsgleichung,
Die Arbeit besteht aus vier voneinander unabhängigen Teilen, welche für eine Publikation
eingereicht bzw. bereits akzeptiert wurden.
Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine gestörte lineare kinetische Transportgleichung
betrachtet, wobei eine ausgezeichnete Richtung im Konvektionsterm eingeführt wird.
Eine mögliche Interpretation dieses Modells ist die Modellierung von Bakterien, welche
unter Einfluss von Chemotaxis, in Regionen mit einer höheren Wirkstoffkonzentration
gelockt werden. Dabei ist die Wirkstoffkonzentration orts- und zeitabhängig. Betrachtet
man daher im Rahmen dieses Modells die Gleichgewichtsverteilung des gesamten Streuoperators,
so besteht zusätzlich zur Geschwindigkeitsabhängigkeit eine Abhängigkeit von
Ort und Zeit. Trotz dieser Schwierigkeiten sind wir in der Lage A-PrioriAbschätzungen
herzuleiten, die es erlauben zum Grenzwert überzugehen und eine fraktionale Drift-Diffusions-Gleichung auf rigorose Weise abzuleiten.
Im zweiten Teil betrachten wir den Fall einer linearen Vlasov-Boltzmann Gleichung
mit langsam abklingender Gleichgewichtsverteilung auf dem Ganzraum sowie einer ortsund
zeitabhängigen äußeren Kraft. Es ist bekannt, dass der lineare Boltzmann-Streuoperator
eine `spectral gap' besitzt. Jedoch erhalten wir ebenfalls einen koerzitiven Operator,
wenn wir eine externe Kraft hinzufügen. Dieses Ergebnis liefert uns geeignete Apriori-
Abschätzungen, welche es ermöglichen, den makroskoptischen Limes auf rigorose
Weise herzuleiten. Die Gleichung, die den Grenzwert beschreibt, ist eine fraktionale
Wärmeleitungsgleichung mit einem advektiven Term. Für ein bestimmtes Abklingverhalten
der Gleichgewichtsverteilung betrachten wir auch den Grenzwert im Fall starker
Felder welcher als mikroskopischer Grenzwert eine Drift-Gleichung liefert.
Der dritte Teil behandelt die Berechnung des makroskopischen Limes einer linearen
fraktionalen Vlasov-Fokker-Planck-Gleichung. Dabei ist die externe Kraft nicht mit
einer Poisson-Gleichung gekoppelt. Vielmehr handelt es sich um eine gegebene orts- und
zeitabhängige Funktion. Es ist eine wohlbekannte Tatsache, dass der Fokker-Planck-
Operator koerzitiv ist. Allerdings können wir mit Hilfe der fraktionalem-Poincare-
Ungleichung auch die Koerzitivität für den fraktionalen Fokker-Planck-Operator nachweisen.
Zusätzlich können wir die Koerzitivität auch für einen Operator zeigen, der sich
aus dem fraktionalen Fokker-Planck-Operator und der externen Kraft zusammensetzt.
Diese Eigenschaft sowie der Einsatz quadratischer Entropien erlaubt es, A-Priori-Absch
ätzungen herzuleiten. Mit diesen sowie einer geeignet gewählten Testfunktion gelingt
es uns schließlich, den makroskopischen Limes rigoros zu bestimmen.
Im letzten Teil der Arbeit wird eine lineare kinetische Transportgleichung mit langsam
abklingender Gleichgewichtsverteilung in einem glatt-berandeten Gebiet mit `zero inflow'-Randbedingungen betrachtet. Zunächst werden A-Priori-Abschätzungen mit Hilfe quadratischer
Entropien, welche aus der Koerzitivität des Streuoperators folgen, abgeleitet.
Mit Hilfe einer Technik, die auch als Methode der Momente bezeichnet wird, kann
schließlich der makroskopische Limes bestimmt werden. Dabei wird diese Methode so
angepasst, dass auch die Randbedingungen berücksichtigt werden können. Insbesondere
müssen die Testfunktion in der Nähe des Randes quadratisch abfallen. Im Falle
eines beschränkten konvexen Gebiets erinnert der makroskopische Grenzwert an eine
fraktionale Wärmeleitungsgleichung mit einem eingeschränkten fraktionalen Laplace-Operator. Für nicht-konvexe Gebiete liefert der makroskopische Limes jedoch überraschenderweise
einen vollkommen anderen Operator.
Abstract
(Englisch)
This thesis is devoted to the study of macroscopic limits of various kinetic equations
featuring a heavy tailed equilibrium distribution. In the classical case in which the
equilibrium distribution is a Maxwellian it is a well-known result in kinetic theory that
the asymptotic behavior of a linear kinetic equation with a parabolic scaling is governed
by a heat equation. However, if the Maxwellian is replaced by an equilibrium distribution
having a heavy tail then the macroscopic limit is a fractional heat equation.
This thesis consists of four independent works which have been submitted or accepted
for publication. The first part of this work consist in the study of a perturbed
linear kinetic transport equation in which a preferred direction is introduced into the
perturbation term. One possible interpretation of this model is the modeling of bacteria
which under chemotaxis choose to go to regions of higher chemo-attractant. The
chemo-attractant concentration is space and time dependent. Therefore if we consider
the equilibrium distribution of the whole scattering operator we shall have a space and
time dependent equilibrium distribution in addition to the velocity dependence. However,
we can overcome this difficulty and obtain a priori estimates which are used to
pass to the limit and obtain a fractional-drift-diffusion equation in a rigorous manner.
In the second part we consider the case of a linear Vlasov-Boltzmann equation with a
heavy tailed equilibrium distribution in the whole domain and with a given external force
depending in space and time. It is a well-known fact that the linear kinetic scattering
operator has a spectral gap, however, we also obtain a coercive operator if we add the
external force term. This result give us appropriate a priori estimates which enable us to
obtain the macroscopic limit in a rigorous manner. The limiting equation is a fractional
heat equation with an advective term. In addition, under certain decay behavior of the
equilibrium distribution we also consider the high-field limit obtaining as a macroscopic
limit a drift equation.
The third part is concerned with obtaining the macroscopic limit of a linear Vlasov fractional-Fokker-Planck equation where the external force is not coupled to a Poisson
equation but it is given and it is space and time dependent. It is well-known that the
Fokker-Planck operator is coercive, however, thanks to a fractional Poincare inequality
we also prove that the fractional-Fokker-Planck operator is coercive. In addition, we
prove that if we introduce an operator consisting of the fractional-Fokker-Planck operator
together with the external force term the coercivity property also holds. This
property allow us to obtain a priori estimates using quadratic entropies. Using these a
priori estimates and an auxiliary test function method permit us to obtain the macroscopic
limit rigorously.
Finally, the fourth part consists in the study of a linear kinetic transport equation
with heavy tailed equilibrium distribution in a smooth bounded domain with zero inflow
boundary conditions. We obtain a priori estimates thanks to quadratic entropies derived
from the coercivity property of the scattering operator. The macroscopic limit is
established using a technique known as the moments method. This method is adapted
in order to take into account the boundary conditions. In particular, the test functions
considered have a quadratic decay at the boundary. The macroscopic limit is reminiscent
of a fractional heat equation with a restricted fractional Laplace operator in a bounded
convex domain. However, in a non-convex domain we unexpectedly obtain a completely
different operator.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Kinetic transport equations linear Boltzmann operator anomalous diffusion limit fractional diffusion asymptotic analysis macroscopic limit Vlasov equation advection fractional-Fokker-Planck operator fractional Laplacian superdiffusion
Schlagwörter
(Deutsch)
Kinetische Transportgleichung Lineare Boltzmann Operator Anormaler Diffusionlimes Fraktionale Diffusion Asymptotische Analysis Makroskopischer Limes Vlasov Gleichung Advektion Fraktionaler Fokker-Planck Operator Fraktionale Laplace Super diffusion
Autor*innen
Sanchez Pedro Aceves
Haupttitel (Englisch)
Fractional diffusion limits of kinetic transport equations
Publikationsjahr
2016
Umfangsangabe
x, 76 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Pierre Degond ,
Thierry Goudon
AC Nummer
AC13457218
Utheses ID
38912
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |