Numerical methods for bound states of the Schrödinger equation with non-spherical potentials

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit den numerischen Methoden zur Suche nach gebundenen Zuständen der Einteilchen Schrödinger Gleichung für nicht sphärische Potentiale.<br />Durch die Entwicklung in spärische Funktionen wird das partielle Differentialgleichungs - Eigenwertproblem zu einem gewöhnlichen Differentialgleichungs - Eigenwertwertproblem. Die Lösung des equivalenten gewöhnlichen Differentialgleichungs - Anfangswertproblems wird mit Hilfe von 'shooting' Methoden gefunden.<br />Es wurde sowohl einseitiges als auch zweiseitiges 'shooting' zum Finden des Eigenwertes der gekoppelten radialen Differentialgleichung für sphärisch dominierte Potentiale verwendet.<br />Das auf einem unbeschränkten Intervall gegebene Problem musste auf ein beschränktes Intervall reduziert und auf diesem gelöst werden. Hierfür wurden außerdem Lösungsansätze mit asymptotischen Randwerten für die Differentialgleichung verwendet.<br />Die numerischen Berechnungen wurden großteils mit der Computersoftware Mathematica ausgefürt. Dabei löst die Funktion NDSolve das gewöhnliche Differentialgleichungs - Anfangswertproblem.<br />Es konnte ein einziges Kriterium für das Auffinden des Eigenwertes gefunden werden, das Verschwinden der Wronski Determinante.<br />Für sphärisch symmetrische Potentiale wurde zu Testzwecken das Wasserstoffatom mit einer endlichen Kernausdehnung, dargestellt durch unterschiedliche Modelle, untersucht.<br />Die Betrachtung von Ein-Elektron diatomaren Molekülionen soll als Basis zur Berechnung von innerschalen Zuständen in Festkörpern dienen. Am Beispiel des homonuklearen Wasserstoff Molekülion H {+}_{2} berechneten wir sehr genaue Resultate für den Gleichgewichtsabstand, die elektronische Energie und die Gesamtenergie.<br />Sowohl das kurzreichweitige als auch das langreichweitige Verhalten in Abhängigkeit vom internuklearen Abstand konnte erfolgreich mit Ergebnissen der Störungsrechnung verglichen werden.<br />Die selben Kenngrößen wurden auch für das heteronukleare Molekülion HeH {2+} berechnet.<br />

This thesis is concerned with numerical methods for bound states of the single particle Schrödinger equation with non-spherical potentials. Starting with the partial differential equation eigenvalue problem we reduced it by an expansion in spherical harmonics to an ordinary differential equation eigenvalue problem and solved the corresponding ordinary differential equation initial value problem with the shooting method.<br />We tried one-sided and two-sided shooting to find the eigenvalues of the coupled radial differential equation for spherical dominant potentials. Starting at an originally unbounded interval we transferred the problem to an bounded interval and also used asymptotic boundary conditions to solve the differential equation. For our numerical research we mainly used the computer package Mathematica where the function NDSolve solves the ordinary differential equation initial value problem.<br />A single condition was established as a criterion for an eigenvalue, namely the vanishing of the Wronskian determinant.<br />As a test case for a spherical symmetric potential we analyzed the hydrogen atom with a finite size nucleus with model nuclear charge densities.<br />In the present work the study of one electron diatomic molecular ions was used as a model to calculate core states in solids.<br />We were able to obtain very precise results for the homonuclear molecular ion H_2 + where we calculated the equilibrium distance, the first electronic eigenstates and the total energy. The short range and long range asymptotic behavior with respect to the internuclear distance were successfully compared to results of perturbation theory.<br />Analog calculations were performed for the heteronuclear molecular ion HeH {2+}.<br />