Optimal control of a two-state diffusion model : susceptibles and adopters in marketing and drug consumption

Abstract

Im Rahmen eines Diffusionsmodells wird untersucht wie sich bestimmte Güter unter den Mitgliedern einer Gesellschaft über die Zeit verbreiten. Ein zentraler Punkt hierbei ist die Interaktion zwischen potentiellen und tatsächlichen Nutzern einer Sache, denn oft entscheiden Erfahrungen und Eindrücke dieser beider Gruppen über den Erfolg eines Produktes.<br />In dieser Dissertation wird ein Diffusionsmodell betrachtet, das aus zwei Zustandsvariablen, der Anzahl potentieller bzw. tatsächlicher Nutzer eines Produktes besteht. Mit Hilfe der optimalen Steuerungstheorie wird basierend auf der Dynamik dieser Zustände ein Maximierungsproblem im Anwendungsbereich Marketing behandelt. In diesem hat ein Entscheidungsträger die Möglichkeit das Ergebnis mittels Preisreduktionen, die das Produkt attraktiver machen, sich allerdings negativ auf den Profit auswirken, zu beeinflussen. Ohne Verwendung konkreter empirischer Daten wird gezeigt dass die optimale Lösung sowohl vom Startpunkt wie auch von den Parametern abhängt und komplexeres Verhalten wie DNSS-Kurven (auch bekannt als Skiba-Kurven) und Grenzzyklen auftreten kann. Dieses Marketingproblem wird in weiterer Folge durch eine zweite Stufe ergänzt, in der sich der einstige Monopolist plötzlich mit perfektem Wettbewerb konfrontiert sieht.<br />Weiters wird ein Minimierungsproblem im Anwendungsbereich Drogenpolitik behandelt, im dem ein Entscheidungsträger mittels entsprechender Maßnahmen die Möglichkeit hat das durch Drogenkonsum entstehende Leid zu reduzieren. Solche Maßnahmen haben allerdings die Auswirkung, dass Drogenkonsum für potentielle Nutzer attraktiver wird, und sich so das durch Drogen entstehende Leid wieder vergrößert. Wieder wird gezeigt, dass die optimale Strategie vom verwendeten Startpunkt und den Parametern abhängt und Grenzzyklen und (schwache) DNSS-Kurven auftreten können.<br />

With the help of a diffusion model it is investigated why certain goods spread among the members of a society over time. Crucial in this process is the interaction between potential and actual users of a good, because often the experiences and impressions of the members of these groups decide whether a product becomes successful or not.<br />In thesis a diffusion model is considered, which consists of two states describing the number of actual and potential users of a good respectively. Applying tools from optimal control theory, a maximization problem in the field of marketing is considered. It is discussed how a decision maker can influence the development of the two states by giving price reductions, which make the product more attractive to potential customers, however, lead to smaller profits per user. Without usage of concrete empirical data, it will be shown, that the optimal solution depends on the initial values of the state variables as well as on the used parameters and that rather complex behavior such as limit cycles and DNSS curves (also known as Skiba curves) can occur. The marketing problem is then extended by including a second stage, in which the former monopolist suddenly has to face perfect competition. Further, a minimization problem in the field of drug policy is discussed, where a decision maker can reduce harm caused by drug usage through certain measures. However, such measures make the drug more attractive for potential consumers and more harm arises through a larger number of users. Again it will be shown that the optimal solution depends on the initial values of the two states and the used parameters and that limit cycles and (weak) DNSS curves can be found.<br />