Valuations and the dual Lp Brunn-Minkowski theory

Abstract

Diese Arbeit befaßt sich einerseits mit der Charakterisierung gewisser Bewertungen und andererseits mit der näheren Untersuchung der dabei auftretenden Operatoren. Wir betrachten Bewertungen auf konvexen Polytopen die Sternkörper als Bilder annehmen. Die Sternkörper seien mit radialer $L_p$-Addition versehen. Wir zeigen, daß es im wesentlichen nur ein Beispiel solcher Bewertungen die eine gewisse Verträglichkeit mit der allgemeinen linearen Gruppe aufweisen geben kann. Dieses Beispiel ist bis auf Normierung der polare $L_p$-Schwerpunktkörper. Obige Charakterisierung besagt weiters, daß vom Standpunkt der Bewertungen aus, dieser Körper und ein bestimmtes nichtsymmetrisches Analogon die Schnittkörper in der dualen $L_p$ Brunn-Minkowski Theorie darstellen.<br />Wir bestätigen dies indem wir weitere Analogien zwischen dem Schnittkörper und dem $L_p$ Schnittkörper beweisen.<br />

In this thesis we characterize certain valuations and investigate the nontrivial examples of such maps. We consider valuations on convex polytopes which have star bodies as images. The set of star bodies is equipped with radial $L_p$ addition. We prove that there exists essentially one example of such a valuation which is compatible with the general linear group in a certain way. This example is up to normalization the polar $L_p$ centroid body. This characterization tells us that from a valuation theoretic point of view this body and its nonsymmetric analogon are the intersection bodies within the dual $L_p$ Brunn-Minkowski theory. We confirm this by showing further analogies between the intersection body and the $L_p$ intersection body.