Hartman measurable sets and functions

Abstract

Wir definieren Hartman Meßbarkeit von Funktionen wie folgt: Eine auf der (nichtkompakten) topologischen Gruppe $G$ definierte Funktion $f: G o \C$ ist Hartman meßbar, wenn es eine Riemann integrierbare Funktion $F: C o \C$ gibt (eine Funktion ist Riemann integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bezüglich des Haarschen Maßes ist) und eine Gruppenkompaktifizierung $(\iota,C)$, sodass $f=F\circ \iota$. Insbesondere interessieren wir uns für die Struktur der Menge aller Gruppenkompaktifizierungen $(\iota,C)$ von $G$, sodass eine gegebene Hartman meßbare Funktion $f$ als $F\circ\iota$ mit einer auf $C$ definierten Riemann integrierbaren Funktion $F$ dargestellt (wir sagen auch realisiert) werden kann. Ist $G$ eine LCA Gruppe mit separablem Dual, so ist eine solche Realisierung stets schon auf einer metrisierbaren Gruppe $C$ möglich. In wichtigen Spezialfällen läßt sich eine Realisierung auch mit Hilfe des Fourierspektrums von $f$ angeben. Jede fastperiodische Funktion ist insbesondere auch Hartman meßbar. Eine bekannte und gut untersuchte Verallgemeinerung der fastperiodischen Funktionen stellen die schwach fastperiodischen Funktionen dar. Wir zeigen, dass es i.a. Hartman meßbare Funktionen gibt, welche nicht schwach fastperiodisch sind. $C_0$-Funktionen dagegen, i.e. Funktionen die im Unendlichen verschwinden, sind stets Hartman meßbar. Wir beschäftigen uns außerdem mit dem Zusammenhang zwischen Fouriertransformation von Maßen und Hartman Meßbarkeit.<br />

A subset $H$ of $\Z$, or more generally, of a discrete group $G$ is called Hartman measurable, if $H=\iota {-1}(M)$ for some continuous homomorphism $\iota: G o C$, $C=\overline{\iota(G)}$ a compact group, and $M\subset C$ with topological boundary $\partial M$ of Haar measure $0$. This concept turned out to be useful in the context of coding $n\alpha$-sequences and related group-rotations. There exists a unique translation invariant finitely additive measure on the Boolean algebra of Hartman measurable subsets. We extend this concept from sets to functions via a process similar to the passage from measurable sets to measurable functions. The relation between this class of Hartman-measurable functions and the class of almost periodic functions is comparable to the relation between Riemann integrable functions to continuous functions. We present results about the extent of Hartman measurable functions and establish a connection between Hartman measurability and concepts such as (weak) almost periodicity. We use methods from strucure theory of LCA groups and fourier analysis.