Fellner, K. A. (2002). On two models for charged particle systems : the cometary flow equation and the Burgers-Poisson system [Dissertation, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-10833
Two models for charged particle systems are considered. The first chapter treats a kinetic equation with a relaxation time model for wave-particle collisions in cometray flows. Similarly to the BGK-model of gas dynamics, it involves a projection onto the set of equilibrium distributions, nonlinearly dependent on moments of the distribution function. An earlier existence result is extended to bounded domains with reflecting boundaries and to initial conditions permitting vacuum regions. The long time behaviour is investigated. Convergence on compact time intervals (shifted to infinity) to the set of equilibrium solutions is proven. All smooth equilibrium solutions are computed and classified according to their geometry. The subset of smooth equilibria satisfying boundary conditions is investigated. Finally, explicit solutions of the Euler equations for ideal gases are constructed as moments of equilibrium solutions. In the second chapter, a dispersive model equation is considerd, which has been proposed by Whitham as a shallow water model, and which can also be seen as a caricature of two species Euler-Poisson problems. A number of formal properties as well as similarities to other dispersive equations is derived. A travelling wave analysis and some numerical tests are carried out. The equation features wave breaking in finite time. A local existence result for smooth solutions and a global existence result for weak entropy solutions is proved. Finally a small dispersion limit is carried out for situations where the solution of the limiting equation is smooth.
en
Zwei Modelle für Systeme geladener Teilchen werden betrachtet. Das erste Kapitel behandelt eine kinetische Gleichung mit einem Relaxationszeitmodell für Wellen-Teilchen-Kollisionen in einem Kometenschweif. Ähnlich zur BGK-Gleichung der Gas-Dynamik beinhaltet sie eine Projektion (nichtlinear abhängig von Momenten der Verteilungsfunktion) auf die Menge der Gleichgewichtsverteilungen. Ein früheres Existenzresultat wird auf beschränkte Gebiete mit reflektierenden Randbedingungen und auf Anfangsdaten verallgemeinert, die Vakuumanteile zulassen. Die Konvergenz der Lösung betrachtet auf kompakten, gegen unendlich verschoben Zeitintervallen gegen eine Gleichgewichtsverteilung wird bewiesen. Alle glatten Gleichgewichtsverteilungen werden berechnet und anhand ihrer Geometrie klassifiziert. Die Teilmenge der Gleichgewichtsverteilungen, welche Randbedingungen erfüllen, wird untersucht. Zum Abschluss werden explizite Lösungen der Euler Gleichungen von idealen Gasen aus Momenten der Gleichgewichtsverteilungen konstruiert. Im zweiten Kapitel wird eine dispersive Modellgleichung betrachtet, welche von Whitham als Flachwassergleichung vorgestellt wurden, aber auch als Karikature von Zwei-Teilchen Euler-Poisson Problemen gesehen werden kann. Einige formale Eigenschaften sowie Ähnlichkeiten zu anderen dispersiven Gleichungen werden gezeigt. Eine Wandernde-Wellen Analyse und numerische Tests werden durchgeführt. Die Gleichung gestattet Wellenbrechung in endlicher Zeit. Eine lokales Existenzresulat für glatte Lösungen sowie ein globales Existenzresultat für schwache Entropielösungen wird bewiesen. Zuletzt wird der Limes "Dispersion gegen Null" für Situationen durchgeführt, bei denen die Lösung der Limesgleichung glatt ist.