Im Bereich der Physik, Chemie, Biologie und in weiteren Wissenschaftsdisziplinen werden viele Vorgänge durch zeitabhängige Differentialgleichungen beschrieben. Für die numerische Lösung solcher Gleichungen wurden verschiedene Methoden entwickelt, die oft an spezielle Problemklassen angepasst sind. Eine Klasse von rechenintensiven, aber sehr attraktiven Methoden, stellen exponentielle Integratoren dar. Sie galten lange Zeit als nicht implementierbar, aber aufgrund der gestiegenen Rechenleistung von Clustern sowie PCs erschließen sich neue Anwendungsgebiete.
Bei exponentiellen Integratoren handelt es sich um numerische Verfahren zur Berechnung der Zeitevolution der Lösung von Differentialgleichungen. Diese Verfahren basieren auf sogenannten Matrixfunktionen. Im Allgemeinen ist die exakte Auswertung von Matrixfunktionen zu rechenintensiv, daher wird eine Approximation dieser Auswertung anstelle der exakten Lösung berechnet. Diese Approximation ist mit Abstand der rechenintensivste Bestandteil der exponentiellen Integratoren und stellt das Hauptaugenmerk dieser Arbeit dar.
Es existieren verschiedenste Möglichkeiten für eine Approximation, wobei wir uns auf die Leja-Interpolation zur effizienten Berechnung der Matrixfunktionen konzentrieren.
Wir entwickeln einen neuen Fehlerschätzer für das Verfahren, vergleichen das Verfahren mit anderen gängigen Methoden und stellen eine umfassende Fehleranalyse wodurch die Methode effizienter und flexibler wird.