Für viele Probleme mit freiem Rand und der Formoptimierung lässt sich die Niveaumengenmethode erfolgreich einsetzen, um auf natürliche Art und Weise Geometrien, Formen und ihre zeitliche Evolution mathematisch zu beschreiben. In den meisten Anwendungen wird die Methode allerdings ohne ausreichende theoretische Rechtfertigung benützt. Mit dieser Arbeit möchten wir eine solide theoretische Basis für Formoptimierung mit der Geschwindigkeitsmethode und Niveaumengen schaffen. Unsere Ergebnisse basieren auf einer Interpretation der klassischen Levelset-Gleichung als Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung eines Kontrollproblems, wodurch wir eine Hopf-Lax-Darstellungsformel für die geometrischen Evolutionen herleiten können. Dieses Ergebnis liefert nicht nur eine starke theoretische Grundlage für Sethians Fast-Marching-Methode und unsere verallgemeinerte Composite-Fast-Marching-Methode, sondern kann auch verwendet werden, um neue theoretische Ergebnisse zu beweisen. Im Speziellen können wir damit einen neuen Zugang zur Analyse von Formsensitivität aufbauen, neue Ergebnisse für Non-Fattening herleiten und weitere grundlegende Fragen, die sich in unserem Kontext ergeben, beantworten. Wir wenden unsere Erkenntnisse auch an, um ein vollständiges Gradientenabstiegsverfahren für Formoptimierung zu implementieren. Dieses Verfahren haben wir sowohl für Bildsegmentierung als auch Formoptimierung mit Differentialgleichungsnebenbedingungen getestet. Zusätzlich besprechen wir auch, wie man geometrische Nebenbedingungen in unser Verfahren einbauen kann, und entwickeln eine gänzlich neue, effizientere Optimierungsmethode, die als selbst-konsistenter Gradientenfluss interpretiert werden kann. Wesentliche Teile unseres numerischen Codes sind als freie Software in einem Erweiterungspaket für GNU Octave veröffentlicht.

The level-set method is widely employed for a range of problem settings, including shape optimisation and free-boundary problems. It allows for a natural and very flexible description of shapes and changes to them. Most of the time, however, it is applied for shape optimisation without a sound justification. In this thesis, we build a solid theoretical framework for shape optimisation using the speed method in the level-set context. Particular focus is put on the connection between the classical level-set equation and the theory of optimal control. This connection allows us to interpret the level-set equation as a Hamilton-Jacobi-Bellman equation and, in consequence, express the shape evolutions in terms of a Hopf-Lax formula. This forms a strong theoretical justification for Sethian's Fast Marching Method and our generalised Composite Fast Marching. Furthermore, based on this representation, we are also able to derive new results about shape-sensitivity analysis, non-fattening and other questions of general interest. We develop a complete gradient-descent method and apply it to image segmentation and PDE-constrained shape optimisation. In the context of this gradient descent, we also discuss ways to handle geometric constraints. The gradient descent is, however, prone to the well-known "zig-zag behaviour". To avoid this issue, we propose also a novel method that can be interpreted as a self-consistent gradient flow and is much more efficient. Main components of our numerical code are released as free software in an extension package for GNU Octave.