Regularisierung ist eine Methode zur Lösung inverser Probleme. Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Erlernen von Regularisierung aus Datenstichproben. Im ersten Teil dieser Arbeit wird dies aus einer statistischen Perspektive untersucht. In Kapital 1 werden wichtige Konzepte aus dem Bayesschen Zugang zu inversen Problemen wiederholt. In Kapitel 2 wird untersucht wie viele Stichproben benötigt werden um den linearen Schätzer mit minimalem erwarteten quadratischen Fehler zuverlässig approximieren zu können. In Kapitel 3 wird untersucht wie man optimale spektrale Filter bestimmt. Eine Methode zur statistischen Evaluation von Lernverfahren wird in Kapitel 4 besprochen. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit dem Erlernen von durch Sobolev-Normen inspirierten Regularisierungsoperatoren für das Regularisieren von Parameteridentifikationsproblemen in partiellen Differentialgleichungen. Im Kapitel 6 wird das Erlernen einer gewichteten Sobolev-Norm untersucht. Kapitel 7 und 8 beschäftigen mit dem Erlernen der Ordnung für zwei verschiedene Regularisierungsoperatoren vom Sobolev-Typ. Numerische Experimente werden in Kapitel 5 und 9 präsentiert.

Regularization is a method for solving inverse problems. This thesis is concerned with learning regularization from data. In the first part of this work, this is investigated from a statistical perspective. Important concepts from the Bayesian approach to inverse problems are recalled in Chapter 1. In Chapter 2, it is investigated how many training samples are needed to reliably approximate the linear minimum mean squared error estimator for a linear inverse problem. In Chapter 3, learning optimal spectral filters is discussed. A technique for the statistical evaluation of learning methods is investigated in Chapter 4. The second part of this work deals with learning fractional order Sobolev-type regularization operators for the regularization of inverse problems governed by partial differential equations. Chapter 6 deals with learning a weighted fractional order Sobolev norm. Chapters 7 and 8 are concerned with learning the fractional order for two different Sobolev-type regularization operators. Numerical experiments are presented in Chapters 5 and 9.