Die Modellierung des unvermeidlichen Messfehlers ist von größter Bedeutung für die theoretische und praktische Behandlung Inverser und schlecht-gestellter Probleme. Man betrachtet entweder einen deterministischen, größtmöglichen Fehler oder eine stochastische Formulierung. Beide Varianten haben Vor- und Nachteile. Einige frühere Veröffentlichungen haben Verbindungen zwischen dem Modellen angedeutet wenn in den Annahmen der deterministischen Theorie ein stochastisches Fehlermodell angenommen wird. Ein Hauptanliegen dieser Arbeit ist es, diese Verbindung weiter darzulegen. Als zweites Hauptthema dient eine spezielle Anwendung. Es werden zwei Regularisierungsmethoden für das Problem der atmosphärischen Tomografie für Adaptive Optik untersucht.
Nach der Klärung des Konzepts Inverser und Schlecht-gestellter Probleme werden grundlegende Regularisierungsmethoden im determinisitischen und stochastischen Modell diskutiert und ein Überblick über die vorhandene Literatur zur Verbindung der Modelle gegeben. Vor der Präsentation eigener Ergebnisse, werden einige stochastische Konzepte eingeführt, insbesondere die Ky-Fan-Metrik als Haupttechnik der späteren Analyse.
Die ersten eigenen Resultate erfolgen für Filter-basierte Regularisierungsmethoden. Bevor Konvergenz und Konvergenzraten dieser Methoden unter dem stochastischen Modell gezeigt werden, werden zwei spezielle Filtermethoden im deterministischen Modell diskutiert. Diese, beide genannt fractional Tikhonov regularization, wurden eingeführt um das Überglätten der traditionallen Tikhonov-Regularisierung zu vermeiden. Es wird gezeigt, dass beide nur in Spezialfällen eine Verbesserung bringen obwohl beide sowohl mit einer a-priori Parameterwahl als auch mit dem Diskrepanzprinzip von optimaler Konvergenzordnung sind. Ausgewählte numerische Ergebnisse untermauern die theoretischen Erkenntnisse. Zur Vorbereitung späterer Kapitel wird dann das Problem der atmosphärischen Tomografie für Adaptive Optik eingeführt. Dies ist ein System zur Verbesserung der Bildqualität von auf der Erde stationierter Teleskope. Darauf folgend wird zu einer wavelet-sparsity basierten Regularisierungsmethode in Besov-Räumen übergeleitet. Das deterministische Tikhonov-Funktional wird aus einer rein stochastischen Formulierung motiviert, nämlich dem Bayes'schen Ansatz. Konvergenz und Konvergenzraten unter dem stochastischen Modell werden gezeigt. Durch die Bayes'sche Formulierung werden alle Größen als Zufallsvariablen modelliert. Dies erlaubt die Konstruktion einer neuartigen a-priori Parameterwahlregel. Nach einem akademischen numerischen Beispiel wenden wir die Theorie auf die Atmosphärische Tomografie an, da darin die Unbekannte als Zufallsvariable in einem Besov-Raum interpretiert werden kann. Danach werden die bisherigen Ergebnisse zur Verbindung zwischen deterministischem und stochastischen Fehlermodell zusammengefasst und verallgemeinert. Im numerischen Beispiel nutzen wir das Diskrepanzprinzip zur Bestimmung des Regularisierungsparameters für ein nichtlineares Faltungsproblem mit sparsity-Strafterm. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir einen auf der Methode der Approximativen Inversen beruhenden Algorithmus für das atmosphärische Tomografieproblem vor. In dieser Regularisierungsstrategie wird der großteil des Rechenaufwands zur Berechnung sogenannter Rekonstruktionskerne benutzt. Zur Laufzeit müssen nur innere Produkte zwischen Daten und Rekonstruktionskernen ausgewertet werden. Numerische Fallbeispiele zeigen die Konkurrenzfähigkeit dieser Methode.